Tableau de variations de f(x) = \frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x} — Étude complète

Fonction analysée

f(x) =$\frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}$

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Tableau de variations

$Tableau de variations de f(x) = \frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}$

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\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-2$, $-1$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, d, -, d, -,}
  \tkzTabVar{+/$0$, -D+/$-\infty$/$+\infty$, -D+/$-\infty$/$+\infty$, -/$0$}
\end{tikzpicture}

\end{document}

Signe de la dérivée f'(x)

$Signe de f'(x) pour \frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-2$, $-1$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, d, -, d, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Tableau de signes

$Tableau de signes de \frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $-2$, $-1.333$, $-1$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, d, +, z, -, d, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Représentation graphique

$Graphe de f(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}$

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Étude complète de f(x) = \frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}

Domaine de définition

La fonction f(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x} est définie sur $D_f=(-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Dérivée

La dérivée est $f'(x)=- \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$.

Code LaTeX tkz-tab

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Domaine

$D_f=(-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$

Limites

$\lim_{x\to-\infty^{+}}f(x)=0$

$\lim_{x\to-2^{-}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to-2^{+}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to+\infty^{-}}f(x)=0$

Asymptotes

Verticales :$x=-2$$x=-1$

Horizontales :$y=0$

Dérivée f'(x)

f'(x) =$- \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Inflexion

$(- \frac{4}{3} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3},\;\frac{1}{- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3}} + \frac{2}{- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2}{3}})$

Primitive F(x)

F(x) =$\ln{\left(x + 1 \right)} + 2 \ln{\left(x + 2 \right)}+C$

Autres fonctions analysées

$f(x)=-x^3+3x^2-1$Tableau de variations 384 fois $f(x)=x^2$Tableau de variations 163 fois $f(x)=\frac{1}{log(x)}$Tableau de variations 129 fois $f(x)=x^2-3x+2$Tableau de variations 127 fois $f(x)=e^x-x$Tableau de variations 123 fois $f(x)=\frac{x^2-x}{1-x}$Tableau de variations 116 fois