Tableau de variations de f(x) = \frac{1}{x^2-3x+1} — Étude complète

Fonction analysée

f(x) =$\frac{1}{x^2-3x+1}$

2 consultations 08/04/2026

Tableau de variations

$Tableau de variations de f(x) = \frac{1}{x^2-3x+1}$

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\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $1.5 - \sqrt{5}/2$, $1.500$, $\sqrt{5}/2 + 1.5$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, +, d, +, z, -, d, -,}
  \tkzTabVar{-/$0$, +D-/$+\infty$/$-\infty$, +/$-0.8$, -D+/$-\infty$/$+\infty$, -/$0$}
\end{tikzpicture}

\end{document}

Signe de la dérivée f'(x)

$Signe de f'(x) pour \frac{1}{x^2-3x+1}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $1.5 - \sqrt{5}/2$, $1.500$, $\sqrt{5}/2 + 1.5$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, +, d, +, z, -, d, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Tableau de signes

$Tableau de signes de \frac{1}{x^2-3x+1}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $1.5 - \sqrt{5}/2$, $\sqrt{5}/2 + 1.5$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, +, d, -, d, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Représentation graphique

$Graphe de f(x)=\frac{1}{x^2-3x+1}$

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Étude complète de f(x) = \frac{1}{x^2-3x+1}

Domaine de définition

La fonction f(x)=\frac{1}{x^2-3x+1} est définie sur $D_f=(-\infty, 3/2 - sqrt(5)/2) \cup (3/2 - sqrt(5)/2, sqrt(5)/2 + 3/2) \cup (sqrt(5)/2 + 3/2, +\infty)$.

Dérivée

La dérivée est $f'(x)=\frac{3 - 2 x}{\left(x^{2} - 3 x + 1\right)^{2}}$.

Points critiques

Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=1.5$ avec $f=-0.8$.

Code LaTeX tkz-tab

Intégrez le tableau dans vos documents LaTeX avec le package tkz-tab. Cliquez sur "Code LaTeX" ci-dessus pour copier le code prêt à l'emploi.

Domaine

$D_f=(-\infty, 3/2 - sqrt(5)/2) \cup (3/2 - sqrt(5)/2, sqrt(5)/2 + 3/2) \cup (sqrt(5)/2 + 3/2, +\infty)$

Limites

$\lim_{x\to-\infty^{+}}f(x)=0$

$\lim_{x\to1.5 - \frac{\sqrt{5}}{2}^{-}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to1.5 - \frac{\sqrt{5}}{2}^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to\frac{\sqrt{5}}{2} + 1.5^{-}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to\frac{\sqrt{5}}{2} + 1.5^{+}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to+\infty^{-}}f(x)=0$

Asymptotes

Verticales :$x=1.5 - \frac{\sqrt{5}}{2}$$x=\frac{\sqrt{5}}{2} + 1.5$

Horizontales :$y=0$

Dérivée f'(x)

f'(x) =$\frac{3 - 2 x}{\left(x^{2} - 3 x + 1\right)^{2}}$

Points critiques

$(1.5,\;-0.8)$

Primitive F(x)

F(x) =$\frac{\sqrt{5} \left(\ln{\left(x - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \ln{\left(x - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right)}{5}+C$

Autres fonctions analysées

$f(x)=\frac{log(-x)}{x+5}$Tableau de variations 21 fois $f(x)=x^2$Tableau de variations 19 fois $f(x)=\frac{x^2-x}{1-x}$Tableau de variations 19 fois $f(x)=\frac{1}{log(x)}$Tableau de variations 18 fois $f(x)=x^2-3x+2$Tableau de variations 18 fois $f(x)=x^3-x$Tableau de variations 18 fois