Tableau de variations de f(x) = \frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2} — Étude complète

Fonction analysée

f(x) =$\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}$

6 consultations 21/04/2026

Tableau de variations

$Tableau de variations de f(x) = \frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}$

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\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-1.732$, $0$, $1.732$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +,}
  \tkzTabVar{+/$0$, -/$-0.5$, +/$4.0$, -/$-0.5$, +/$0$}
\end{tikzpicture}

\end{document}

Signe de la dérivée f'(x)

$Signe de f'(x) pour \frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-1.732$, $0$, $1.732$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Tableau de signes

$Tableau de signes de \frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Représentation graphique

$Graphe de f(x)=\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}$

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Étude complète de f(x) = \frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2}

Domaine de définition

La fonction f(x)=\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(\left(x\right)^2+1\right)^2} est définie sur $D_f=(-\infty, +\infty)$.

Dérivée

La dérivée est $f'(x)=\frac{8 x \left(x^{2} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$.

Points critiques

Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=0.0$ avec $f=4.0$, $x_{2}=-1.73205080756888$ avec $f=-0.5$, $x_{3}=1.73205080756888$ avec $f=-0.5$.

Code LaTeX tkz-tab

Intégrez le tableau dans vos documents LaTeX avec le package tkz-tab. Cliquez sur "Code LaTeX" ci-dessus pour copier le code prêt à l'emploi.

Domaine

$D_f=(-\infty, +\infty)$

Limites

$\lim_{x\to-\infty^{+}}f(x)=0$

$\lim_{x\to+\infty^{-}}f(x)=0$

Asymptotes

Horizontales :$y=0$

Dérivée f'(x)

f'(x) =$\frac{8 x \left(x^{2} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$

Points critiques

$(0.0,\;4.0)$

$(-1.73205080756888,\;-0.5)$

$(1.73205080756888,\;-0.5)$

Inflexion

$(-1 + \sqrt{2},\;\frac{4 - 4 \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2}}{\left(\left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} + 1\right)^{2}})$

$(1 - \sqrt{2},\;\frac{4 - 4 \left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}{\left(\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2} + 1\right)^{2}})$

$(1 + \sqrt{2},\;\frac{4 - 4 \left(1 + \sqrt{2}\right)^{2}}{\left(1 + \left(1 + \sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}})$

$(- \sqrt{2} - 1,\;\frac{4 - 4 \left(- \sqrt{2} - 1\right)^{2}}{\left(1 + \left(- \sqrt{2} - 1\right)^{2}\right)^{2}})$

Primitive F(x)

F(x) =$\frac{4 x}{x^{2} + 1}+C$

Autres fonctions analysées

$f(x)=x^2$Tableau de variations 97 fois $f(x)=\frac{1}{log(x)}$Tableau de variations 69 fois $f(x)=e^x-x$Tableau de variations 69 fois $f(x)=x^2-3x+2$Tableau de variations 66 fois $f(x)=\frac{x^2-x}{1-x}$Tableau de variations 65 fois $f(x)=\frac{log(-x)}{x+5}$Tableau de variations 63 fois