Tableau de variations de f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}} — Étude complète

Fonction analysée

f(x) =$\frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}$

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Tableau de variations

$Tableau de variations de f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}$

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\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-0.639$, $0$, $9.695$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, d, +, z, -,}
  \tkzTabVar{+/$1$, -/$-0.028$, +D-/$0$/$-\infty$, +/$1.052$, -/$1$}
\end{tikzpicture}

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Signe de la dérivée f'(x)

$Signe de f'(x) pour \frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}$

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\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-0.639$, $0$, $9.695$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, z, +, d, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Tableau de signes

$Tableau de signes de \frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
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\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $-1$, $0$, $1$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, +, z, -, d, -, z, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Représentation graphique

$Graphe de f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}$

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Étude complète de f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}}

Domaine de définition

La fonction f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+4}\cdot e^{\frac{1}{x}} est définie sur $D_f=(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Dérivée

La dérivée est $f'(x)=\frac{\left(- x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2} + 4\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(x^{4} + 8 x^{2} + 16\right)}$.

Points critiques

Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=9.69495013679751$ avec $f=1.05208524162659$, $x_{2}=-0.638949770761798$ avec $f=-0.0280650536526902$.

Code LaTeX tkz-tab

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Domaine

$D_f=(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

Limites

$\lim_{x\to-\infty^{+}}f(x)=1$

$\lim_{x\to0^{-}}f(x)=0$

$\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to+\infty^{-}}f(x)=1$

Asymptotes

Verticales :$x=0$

Horizontales :$y=1$

Dérivée f'(x)

f'(x) =$\frac{\left(- x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2} + 4\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(x^{4} + 8 x^{2} + 16\right)}$

Points critiques

$(9.69495013679751,\;1.05208524162659)$

$(-0.638949770761798,\;-0.0280650536526902)$

Inflexion

$(\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 0\right)},\;\frac{-1 + \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 0\right)}^{2}}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 0\right)}^{2} + 4\right) e^{- \frac{1}{\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 0\right)}}}})$

$(\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 1\right)},\;\frac{-1 + \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 1\right)}^{2}}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 1\right)}^{2} + 4\right) e^{- \frac{1}{\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 1\right)}}}})$

$(\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 2\right)},\;\frac{\left(-1 + \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 2\right)}^{2}\right) e^{\frac{1}{\operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 2\right)}}}}{4 + \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{7} - 29 x^{6} - 6 x^{5} + 47 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 16, 2\right)}^{2}})$

Primitive F(x)

F(x) =$\int \frac{\left(x^{2} - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} + 4}\, dx+C$

Autres fonctions analysées

$f(x)=-x^3+3x^2-1$Tableau de variations 770 fois $f(x)=x^2$Tableau de variations 577 fois $f(x)=x^2-3x+2$Tableau de variations 573 fois $f(x)=\frac{1}{log(x)}$Tableau de variations 544 fois $f(x)=e^x-x$Tableau de variations 538 fois $f(x)=\frac{x^2-x}{1-x}$Tableau de variations 511 fois