Tableau de variations de f(x) = \frac{x^2}{x^2-2x-2} — Étude complète

Fonction analysée

f(x) =$\frac{x^2}{x^2-2x-2}$

4 consultations 13/05/2026

Tableau de variations

$Tableau de variations de f(x) = \frac{x^2}{x^2-2x-2}$

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\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-2$, $1 - \sqrt{3}$, $0$, $1 + \sqrt{3}$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, d, +, z, -, d, -,}
  \tkzTabVar{+/$1$, -/$0.667$, +D-/$+\infty$/$-\infty$, +/$0.0$, -D+/$-\infty$/$+\infty$, -/$1$}
\end{tikzpicture}

\end{document}

Signe de la dérivée f'(x)

$Signe de f'(x) pour \frac{x^2}{x^2-2x-2}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-2$, $1 - \sqrt{3}$, $0$, $1 + \sqrt{3}$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, -, z, +, d, +, z, -, d, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Tableau de signes

$Tableau de signes de \frac{x^2}{x^2-2x-2}$

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\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $1 - \sqrt{3}$, $0$, $1 + \sqrt{3}$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{, +, d, -, z, -, d, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Représentation graphique

$Graphe de f(x)=\frac{x^2}{x^2-2x-2}$

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Étude complète de f(x) = \frac{x^2}{x^2-2x-2}

Domaine de définition

La fonction f(x)=\frac{x^2}{x^2-2x-2} est définie sur $D_f=(-\infty, 1 - sqrt(3)) \cup (1 - sqrt(3), 1 + sqrt(3)) \cup (1 + sqrt(3), +\infty)$.

Dérivée

La dérivée est $f'(x)=\frac{2 x \left(- x - 2\right)}{x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 4}$.

Points critiques

Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=-2.0$ avec $f=0.666666666666667$, $x_{2}=0.0$ avec $f=0$.

Code LaTeX tkz-tab

Intégrez le tableau dans vos documents LaTeX avec le package tkz-tab. Cliquez sur "Code LaTeX" ci-dessus pour copier le code prêt à l'emploi.

Domaine

$D_f=(-\infty, 1 - sqrt(3)) \cup (1 - sqrt(3), 1 + sqrt(3)) \cup (1 + sqrt(3), +\infty)$

Limites

$\lim_{x\to-\infty^{+}}f(x)=1$

$\lim_{x\to1 - \sqrt{3}^{-}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to1 - \sqrt{3}^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to1 + \sqrt{3}^{-}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to1 + \sqrt{3}^{+}}f(x)=\infty$

$\lim_{x\to+\infty^{-}}f(x)=1$

Asymptotes

Verticales :$x=1 + \sqrt{3}$$x=1 - \sqrt{3}$

Horizontales :$y=1$

Dérivée f'(x)

f'(x) =$\frac{2 x \left(- x - 2\right)}{x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 4}$

Points critiques

$(-2.0,\;0.666666666666667)$

$(0.0,\;0)$

Inflexion

$(- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - 1 - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}},\;\frac{\left(- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - 1 - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}\right)^{2}}{\frac{6}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}} + \frac{2 \sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} + \left(- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - 1 - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}\right)^{2}})$

Primitive F(x)

F(x) =$x + \frac{\left(3 - 2 \sqrt{3}\right) \ln{\left(x - 1 + \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\left(3 + 2 \sqrt{3}\right) \ln{\left(x - \sqrt{3} - 1 \right)}}{3}+C$

Autres fonctions analysées

$f(x)=-x^3+3x^2-1$Tableau de variations 384 fois $f(x)=x^2$Tableau de variations 163 fois $f(x)=\frac{1}{log(x)}$Tableau de variations 129 fois $f(x)=x^2-3x+2$Tableau de variations 127 fois $f(x)=e^x-x$Tableau de variations 123 fois $f(x)=\frac{x^2-x}{1-x}$Tableau de variations 116 fois