Fonction analysée
f(x) =$log(\frac{\left(x)^2-2x-3}{\left(x\right)^2+2x-3}\right)$
Tableau de variations
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
{$-\infty$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, d, h, d, h, d, h, d, +,}
\tkzTabVar{-/$0$, +DH/$+\infty$, HD-/$+\infty$, HD-/$+\infty$, D-/$-\infty$, +/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Signe de la dérivée f'(x)
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, d, h, d, h, d, h, d, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Tableau de signes
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $-3$, $-1$, $0$, $1$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, d, h, d, -, z, +, d, h, d, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Étude complète de f(x) = log(\frac{\left(x)^2-2x-3}{\left(x\right)^2+2x-3}\right)
Domaine de définition
La fonction f(x)=log(\frac{\left(x)^2-2x-3}{\left(x\right)^2+2x-3}\right) est définie sur $D_f=(-\infty, -3) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty)$.
Dérivée
La dérivée est $f'(x)=\frac{4 x^{2} + 12}{x^{4} - 10 x^{2} + 9}$.
Points critiques
Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=-3.0000005076988$ avec $f=15.5919899799892$, $x_{2}=-0.99999973589698$ avec $f=-15.1469266481906$, $x_{3}=0.999999735896873$ avec $f=15.1469262437899$, $x_{4}=3.00000050769822$ avec $f=-15.591991122798$.
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