Qu'est-ce qu'un tableau de variations ?
Un tableau de variations est un outil mathématique fondamental qui résume, en quelques lignes, tout le comportement d'une fonction \(f\) sur son domaine de définition. Il indique :
- les intervalles de croissance (la fonction monte ↗)
- les intervalles de décroissance (la fonction descend ↘)
- les extrema locaux (maximum et minimum)
- les valeurs aux points remarquables (limites, images)
Maîtriser cet outil est incontournable pour réussir en Terminale spécialité Maths, en Première, en CPGE et au baccalauréat. Dans ce guide complet, vous allez apprendre la méthode en 4 étapes, illustrée par 4 exemples corrigés progressifs.
💡 Bonne nouvelle : une fois la méthode assimilée, vous pouvez utiliser notre générateur automatique pour vérifier vos calculs instantanément et obtenir le code LaTeX tkz-tab prêt à l'emploi.
La méthode en 4 étapes
Quelle que soit la fonction — polynôme, rationnelle, logarithmique, exponentielle — la démarche pour dresser un tableau de variations est toujours la même :
Étape 1 — Déterminer le domaine de définition \(\mathcal{D}_f\)
Avant tout calcul, identifiez les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f\) est définie. Cherchez :
- les valeurs interdites (dénominateur nul, argument de \(\ln\) négatif ou nul, radicande négatif…)
- les éventuels intervalles d'étude imposés par l'énoncé
Étape 2 — Calculer la dérivée \(f'(x)\)
Dérivez \(f\) en appliquant les formules appropriées :
- \((x^n)' = nx^{n-1}\) pour les polynômes
- \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) pour les fractions
- \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) pour le logarithme
- \((e^u)' = u' \cdot e^u\) pour l'exponentielle
- \((uv)' = u'v + uv'\) pour les produits
Étape 3 — Étudier le signe de \(f'(x)\)
Résolvez \(f'(x) = 0\) pour trouver les points critiques \(x_0\). Puis dressez le tableau de signes de \(f'(x)\) :
- Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle → \(f\) est croissante ↗
- Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle → \(f\) est décroissante ↘
- Si \(f'(x_0) = 0\) avec changement de signe → \(f\) admet un extremum en \(x_0\)
Étape 4 — Remplir le tableau de variations
Construisez le tableau avec :
- Ligne 1 : les valeurs de \(x\) (bornes du domaine + points critiques)
- Ligne 2 : le signe de \(f'(x)\) (+ ou −) sur chaque intervalle, avec 0 aux points critiques
- Ligne 3 : les flèches de variation (↗ ou ↘) avec les valeurs de \(f\) aux extrémités et aux extrema
Exemple 1 — Fonction polynôme du 3ᵉ degré
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 — Domaine
\(f\) est un polynôme, donc \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).
Étape 2 — Dérivée
\[f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\]
Étape 3 — Signe de \(f'(x)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1\) ou \(x = 1\)
Tableau de signes de \(f'(x)\) :
- \(x < -1\) : \((x-1) < 0\) et \((x+1) < 0\) → \(f'(x) > 0\)
- \(-1 < x < 1\) : \((x-1) < 0\) et \((x+1) > 0\) → \(f'(x) < 0\)
- \(x > 1\) : \((x-1) > 0\) et \((x+1) > 0\) → \(f'(x) > 0\)
Étape 4 — Valeurs aux extrema et limites
\[f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3\]
\[f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\]
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]
Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) ↗ | \(3\) ↘ | \(-1\) ↗ | \(+\infty\) |
Conclusions : \(f\) admet un maximum local de valeur \(3\) en \(x = -1\) et un minimum local de valeur \(-1\) en \(x = 1\).
Exemple 2 — Fonction rationnelle
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).
Étape 1 — Domaine
Le dénominateur s'annule pour \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\).
Donc \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).
Étape 2 — Dérivée
On applique la formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) avec \(u = x\) et \(v = x^2 - 4\) :
\[f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-4) - x \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2-4)^2}\]
Étape 3 — Signe de \(f'(x)\)
Le numérateur \(-x^2 - 4 = -(x^2 + 4) < 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (car \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\)).
Le dénominateur \((x^2 - 4)^2 > 0\) pour tout \(x \neq \pm 2\).
Donc : \(f'(x) < 0\) sur tout le domaine de définition.
Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(\||\) | \(-\) | \(\||\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) ↘ | \(\||\) | \(\||\) | \(0\) |
Conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur chacun des trois intervalles \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 2[\) et \(]2, +\infty[\). Elle présente des asymptotes verticales en \(x = -2\) et \(x = 2\), et une asymptote horizontale \(y = 0\).
Exemple 3 — Fonction avec logarithme
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 — Domaine
\(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), donc \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).
Étape 2 — Dérivée
On applique la formule \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2 + 1\) :
\[f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]
Étape 3 — Signe de \(f'(x)\)
Le dénominateur \(x^2 + 1 > 0\) toujours. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(2x\) :
- \(x < 0\) : \(f'(x) < 0\) → décroissante
- \(x = 0\) : \(f'(0) = 0\) → extremum
- \(x > 0\) : \(f'(x) > 0\) → croissante
Valeur à l'extremum et limites
\[f(0) = \ln(0 + 1) = \ln(1) = 0\]
\[\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty\]
Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) ↘ | \(0\) ↗ | \(+\infty\) |
Conclusion : \(f\) admet un minimum global de valeur \(0\) en \(x = 0\).
Exemple 4 — Fonction avec exponentielle (produit)
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = (2x+1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 2 — Dérivée
On applique \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u = 2x+1\) et \(v = e^{-x}\) :
\[f'(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x+1) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2 - 2x - 1) = e^{-x}(1 - 2x)\]
Étape 3 — Signe de \(f'(x)\)
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((1 - 2x)\) :
- \(x < \dfrac{1}{2}\) : \(1 - 2x > 0\) → \(f'(x) > 0\) → croissante
- \(x = \dfrac{1}{2}\) : \(f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0\)
- \(x > \dfrac{1}{2}\) : \(1 - 2x < 0\) → \(f'(x) < 0\) → décroissante
Valeur à l'extremum et limites
\[f\left(\tfrac{1}{2}\right) = (2 \cdot \tfrac{1}{2} + 1) \cdot e^{-1/2} = 2e^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{e}}\]
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+\]
Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) ↗ | \(\dfrac{2}{\sqrt{e}}\) ↘ | \(0\) |
Conclusion : \(f\) admet un maximum global de valeur \(\dfrac{2}{\sqrt{e}}\) en \(x = \dfrac{1}{2}\).
Les erreurs classiques à éviter
- ❌ Confondre les zéros de \(f\) et les zéros de \(f'\) — ce sont les zéros de la dérivée qui structurent le tableau de variations, pas les racines de la fonction.
- ❌ Oublier les valeurs interdites — si \(x = 2\) n'appartient pas au domaine, il doit apparaître dans le tableau avec une barre \(\||\).
- ❌ Croire que si \(f'(x_0) = 0\) alors \(x_0\) est forcément un extremum — il faut vérifier le changement de signe. Exemple : \(f(x) = x^3\) a \(f'(0) = 0\) mais pas d'extremum en 0.
- ❌ Ne pas calculer les limites aux bornes — elles sont essentielles pour compléter les flèches aux extrémités du tableau.
- ❌ Écrire des flèches incohérentes avec le signe de \(f'\) — toujours vérifier que chaque flèche ↗ correspond bien à \(f' > 0\).
Récapitulatif des formules de dérivation indispensables
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x) \cdot e^{u(x)}\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\ln(u(x))\) | \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| \(u(x) \cdot v(x)\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac{u(x)}{v(x)}\) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
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Questions fréquentes
Peut-on dresser un tableau de variations sans dérivée ?
Pour les fonctions usuelles dont les variations sont connues (fonctions de référence), oui. Mais pour toute fonction générale en Terminale, la méthode officielle passe par le calcul et l'étude du signe de la dérivée.
Que faire si la dérivée ne s'annule pas ?
Si \(f'(x)\) garde un signe constant sur tout le domaine, alors \(f\) est monotone (toujours croissante ou toujours décroissante). Il n'y a ni maximum ni minimum. Le tableau aura une seule flèche.
Comment dresser le tableau si f n'est pas dérivable en un point ?
Si \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0\) (mais reste continue), on place \(x_0\) dans la première ligne du tableau et on étudie le signe de \(f'\) de chaque côté. Si la dérivée change de signe, \(x_0\) peut encore être un extremum.
