Créer un tableau de variations en LaTeX:guide complet pour professeurs

1) Créer un tableau de variations en LaTeX : guide complet pour professeurs

Si vous enseignez les mathématiques au lycée, vous savez à quel point un tableau de variations bien présenté est essentiel pour vos cours et vos copies. LaTeX, couplé au package **tkz-tab**, vous permet de produire des tableaux professionnels en quelques lignes. Ce guide vous accompagne pas à pas, du premier tableau simple aux cas plus avancés.

2) Pourquoi utiliser LaTeX pour vos tableaux de variations ?

Les outils bureautiques classiques (Word, LibreOffice) donnent des tableaux souvent peu lisibles et difficiles à maintenir. LaTeX offre plusieurs avantages concrets pour les enseignants :

- Rendu typographique impeccable, identique à celui des manuels scolaires.
- Reproductibilité : un code réutilisable d'une année sur l'autre.
- Compatibilité totale avec vos documents de cours, DM et corrigés.
- Export PDF haute qualité, prêt pour l'impression ou la projection.

3) Prérequis : installer tkz-tab

Le package `tkz-tab` repose sur TikZ. Il est inclus dans les distributions LaTeX modernes (TeX Live, MikTeX). Si vous utilisez notre editeur editeur-latex , il est disponible directement sans installation.

Ajoutez ces lignes dans le préambule de votre document :

```latex
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
```

4) Votre premier tableau de variations avec tkz-tab

- Structure de base

Voici le code minimal pour un tableau de variations d'une fonction f définie sur ℝ :

```latex
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $2$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, }
  \tkzTabVar{+/ $+\infty$, -/ $-3$, +/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}
```

l'image de ce tableau :

-Ce que fait chaque ligne :

5) Exemple complet : fonction du second degré

Prenons f(x) = x² − 4x + 1. Sa dérivée est f'(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2.

```latex
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$         / 1,
     $f'(x)$     / 1,
     $f(x)$      / 2}
    {$-\infty$, $2$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, }
  \tkzTabVar
    {+/ $+\infty$,
     -/ $-3$,
     +/ $+\infty$}
\end{tikzpicture}
```

Le tableau obtenu affiche clairement que f est décroissante sur ]−∞ ; 2[ et croissante sur ]2 ; +∞[, avec un minimum en x = 2 valant −3.

6) Tableau de variations avec domaine restreint

Pour une fonction définie sur un intervalle fermé, comme f sur [−1 ; 5] :

```latex
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$     / 1,
     $f'(x)$ / 1,
     $f(x)$  / 2}
    {$-1$, $2$, $5$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, }
  \tkzTabVar
    {+/ $6$,
     -/ $-3$,
     +/ $6$}
\end{tikzpicture}
```

7) Ajouter une ligne de signe

Pour compléter l'étude avec le signe de f(x), `tkz-tab` permet d'enchaîner les lignes :

```latex
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$     / 1,
     $f(x)$  / 1}
    {$-\infty$, $-1$, $3$, $+\infty$}
  \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
```

• Personnaliser l'apparence
• Changer la largeur des colonnes

```latex
\tkzTabInit[lgt=3, espcl=2.5]
  {$x$ / 1, $f(x)$ / 2}
  {$-\infty$, $0$, $+\infty$}
```

- `lgt` : largeur de la première colonne (en cm)
- `espcl` : espace entre les colonnes centrales

• Mettre en valeur une valeur remarquable

```latex
\tkzTabVar{+/ $+\infty$, -/ \underline{$-3$}, +/ $+\infty$}
```

8) Cas pratique : tableau de variations de f(x) = √(x²−2)

La fonction f(x) = √(x²−2) est définie lorsque x²−2 ≥ 0, c'est-à-dire sur ]−∞ ; −√2] ∪ [√2 ; +∞[. En x = −√2 et en x = √2, f s'annule et admet des **demi-tangentes horizontales** : la courbe "s'aplatit" au niveau de l'axe des abscisses avant de repartir.

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$    / 1,
     $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $+\infty$}
  \tkzTabVar
    {+/$+\infty$,
     -H/$0$,
     -/$0$,
     +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}

• Lecture du tableau :

- Sur ]−∞ ; −√2[ : f est décroissante depuis +∞ jusqu'à 0.

- En x = −√2 : minimum local avec tangente horizontale → indicateur **H**.

- f n'est pas définie sur ]−√2 ; √2[ (valeur sous la racine négative).

- Sur ]√2 ; +∞[ : f repart de 0 et croît vers +∞.

- Le **H** (Horizontal) signale qu'en ce point la courbe possède une tangente horizontale : f'(x) → 0 quand x → −√2⁺. La flèche reste donc "plate" à l'extrémité, sans ligne de rupture.

9) Cas pratique : tableau de variations de f(x) = ln(x²−2)

La fonction f(x) = ln(x²−2) est définie lorsque x²−2 > 0, soit sur ]−∞ ; −√2[ ∪ ]√2 ; +∞[. Contrairement à la racine carrée, le logarithme tend vers −∞ quand x²−2 → 0⁺ : la courbe présente une - asymptote verticale : en x = −√2 et en x = √2.

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit
    {$x$    / 1,
     $f(x)$ / 2}
    {$-\infty$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $+\infty$}
  \tkzTabVar
    {+/$+\infty$,
     -DH/$-\infty$,
     D-/$-\infty$,
     +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}

Lecture du tableau :

• Sur ]−∞ ; −√2[ : f décroît de +∞ vers −∞ (asymptote verticale gauche en −√2).
• Sur ]√2 ; +∞[ : f repart de −∞ et croît vers +∞ (asymptote verticale droite en √2).
• f n'est pas définie en x = ±√2 ni sur ]−√2 ; √2[.

10) Comprendre les indicateurs H et D dans tkz-tab :

C'est l'une des questions les plus fréquentes chez les enseignants qui débutent avec `tkz-tab`. Voici la logique complète. ### H — tangente Horizontale

Quand l'utiliser ?

• Lorsque f est **définie** en un point x₀ ET que f'(x) → 0 quand x → x₀ (sans rupture de domaine). La courbe "arrive à plat" sur la valeur.

Règle dans le code : on ajoute `H` du côté où la courbe arrive horizontalement.

11) D — discontinuité (asymptote Verticale):

Quand l'utiliser ? Lorsque f **n'est pas définie** en x₀ et que f(x) → ±∞ quand x → x₀ : il y a une asymptote verticale. La flèche doit "partir vers l'infini" et une barre de rupture sépare les deux branches.

Règle dans le code : on ajoute `D` du côté où la discontinuité se produit.

12)Récapitulatif visuel de la logique H / D :

13) Conseils pratiques pour les enseignants

1. **Créez un fichier modèle** : stockez vos préambules et structures récurrentes dans un `.tex` réutilisable.
2. **Utilisez Overleaf en classe** : pas d'installation, vos élèves peuvent visualiser le résultat en direct.
3. **Commentez votre code** : un `% f'(x) = 2x-4` au-dessus de `\tkzTabLine` facilite les corrections.
4. **Combinez avec pgfplots** : tracez la courbe de f sur la même page pour une fiche de révision complète.

14) Récapitulatif des commandes tkz-tab

15) Ressources complémentaires

- Documentation officielle tkz-tab (CTAN)
- Overleaf : éditeur LaTeX en ligne gratuit
- Notre article : [Tableau de signes en LaTeX avec tkz-tab](#)

• Vous avez une question ou un cas particulier à gérer dans votre tableau ? Laissez un commentaire ci-dessous, nous répondons à tous les enseignants.

Mnémotechnique pour vos élèves :

H :

comme "à plat" (Horizontal) : la courbe touche doucement.

D :

comme "rupture" (Discontinuité) : la courbe explose vers ±∞.

Quand les deux cohabitent sur des bords opposés d'une asymptote, on écrit 'DH'.