Les fonctions trigonométriques sin x, cos x et tan x figurent parmi les fonctions les plus étudiées au lycée — et pourtant, dresser leur tableau de variations reste un exercice qui piège de nombreux élèves de Première et Terminale. Dans cet article, nous allons voir la méthode complète, étape par étape, pour chaque fonction.
Rappel : pourquoi la dérivée guide les variations ?
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée f'(x) sur chaque intervalle du domaine de définition. Si f'(x) > 0, la fonction est croissante ; si f'(x) < 0, elle est décroissante.
Tableau de variations de sin x
La dérivée de sin x est cos x. On étudie donc le signe de cos x pour déterminer les variations de sin x.
- cos x > 0 sur ]-π/2 + 2kπ ; π/2 + 2kπ[ → sin x est croissante
- cos x < 0 sur ]π/2 + 2kπ ; 3π/2 + 2kπ[ → sin x est décroissante
Sur l'intervalle [-π ; π], sin x est croissante de -π à π/2 (avec un maximum de 1), puis décroissante de π/2 à π.
Tableau de variations de cos x
La dérivée de cos x est -sin x. On étudie donc le signe de -sin x.
- -sin x > 0 quand sin x < 0, c'est-à-dire sur ]π + 2kπ ; 2π + 2kπ[ → cos x est croissante
- -sin x < 0 quand sin x > 0, soit sur ]0 + 2kπ ; π + 2kπ[ → cos x est décroissante
Sur [0 ; 2π], cos x est décroissante de 0 à π (passant de 1 à -1), puis croissante de π à 2π.
Tableau de variations de tan x
La dérivée de tan x est 1/cos²x, qui est toujours strictement positive là où tan x est définie (c'est-à-dire pour cos x ≠ 0). Tan x est donc strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine : ]-π/2 + kπ ; π/2 + kπ[.
Attention : la fonction tan x admet des asymptotes verticales en x = π/2 + kπ — ces valeurs sont interdites et doivent être signalées par une double barre dans le tableau.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la période de sin (2π) avec celle de tan (π).
- Oublier les asymptotes de tan x dans le tableau.
- Ne pas préciser les valeurs aux bornes (sin(π/2) = 1, cos(0) = 1, etc.).
Générer automatiquement votre tableau
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Comparaison visuelle — sin x, cos x, tan x
Sur l'intervalle de référence de chaque fonction :
sin x — sur [−π ; π]
| x | −π | −π/2 | 0 | π/2 | π | ||||
| f ′(x) = cos x | − | 0 | + | + | 0 | − | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | ↘ | −1 | ↗ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 |
cos x — sur [0 ; 2π]
| x | 0 | π | 2π | ||
| f ′(x) = −sin x | − | 0 | + | ||
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | ↘ | −1 | ↗ | 1 |
tan x — sur ]−π/2 ; π/2[
| x | −π/2 | 0 | π/2 | ||
| f ′(x) = 1/cos²x | + | + | + | ||
|---|---|---|---|---|---|
| tan x | −∞ | ↗ | 0 | ↗ | +∞ |
À retenir : sin et cos ont la même dérivée à un signe près, et leurs tableaux se « décalent » d'un quart de période. tan est toujours croissante, mais avec des ruptures aux asymptotes.
Exercices corrigés
Exercice 1 — f(x) = 2 sin x − 1 sur [−π ; π]
Dresser le tableau de variations de f(x) = 2 sin x − 1 sur [−π ; π].
Voir la correction
- Dérivée : f ′(x) = 2 cos x
- f ′(x) = 0 ⟺ cos x = 0 ⟺ x = −π/2 ou π/2 sur [−π ; π].
f ′ > 0 sur ]−π/2 ; π/2[ → f croissante ; f ′ < 0 ailleurs → f décroissante. - Valeurs : f(−π) = −1 ; f(−π/2) = −3 (min) ; f(π/2) = 1 (max) ; f(π) = −1.
| x | −π | −π/2 | π/2 | π | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f ′(x) | − | 0 | + | 0 | − | ||
| f(x) | −1 | ↘ | −3 | ↗ | 1 | ↘ | −1 |
Exercice 2 — g(x) = cos(2x) sur [0 ; π]
Dresser le tableau de variations de g(x) = cos(2x) sur [0 ; π].
Voir la correction
- Dérivée (règle de la chaîne) : g ′(x) = −2 sin(2x)
- g ′(x) = 0 ⟺ sin(2x) = 0 ⟺ x = 0, π/2 ou π sur [0 ; π].
- Sur ]0 ; π/2[ : g ′ < 0 → décroissante. Sur ]π/2 ; π[ : g ′ > 0 → croissante.
- Valeurs : g(0) = 1 ; g(π/2) = −1 (min) ; g(π) = 1 (max).
| x | 0 | π/2 | π | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g ′(x) | − | 0 | + | ||
| g(x) | 1 | ↘ | −1 | ↗ | 1 |
